§5.1 定积分的概念

一、从阿基米德的穷竭法谈起

【引例】从曲线与直线，， 所围图形的面积。

如图：在区间 上插入 个等分点 ，得曲线上点 ，过这些点分别向轴，轴引垂线，得到阶梯形。它们的面积分别为：

故可得到面积值为

为了便于理解阿基米德的思想，我们先引入曲边梯形的概念。

所谓曲边梯形是指这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条是平行的，第三条与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。

根据这一定义，引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。

二、曲边梯形的面积计算

设连续函数，求由曲边，直线，及 轴所围成的曲边梯形的面积。

如图，在区间上任意地插入个分点

区间分划成 个小区间 ，且记小区间的长度为

过每个分点作平行于轴的直线段，这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形，用记第 个窄小的曲边梯形的面积。

(由于曲边梯形的高在上是连续变化的，在很短小的一段区间上它的变化也很小，即可近似地视为不变。因此，在每个小区间上，可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高，用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)

具体地

对第 个窄小曲边梯形，在其对应区间上任意地取一点，以作为近似高，以矩形面积近似。

即

于是，

很明显地

小区间的长度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越来越小。因此，为了得到面积的精确值，我们只需将区间无限地细分，使得每个小区间的长度都趋向于零。

若记 ，则每个小区间的长度趋向于零价于 。

从而 (1)

三、变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，求物体在时间间隔内所经过的路程。

在时间间隔内任意地插入个分点

将分划成个时间区间

各时间区间的长度依次为

记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为

在时间间隔， 物体所经过的路程的近似值为

即：将物体在上的速度视为不变的，以来近似代替。很自然地，当这一时间间隔段很短时，这种近似是合理的。

于是可给出的近似值

为得到的精确值， 只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零。

若记

则 (2)

上述两例， 尽管其实际意义不同， 但有两点是一致的。

1、曲边梯形的面积值由高及的变化区间来决定；

变速直线运动的路程由速度及的变化区间来决定。

2、计算与的方法、步骤相同，且均归结到一种结构完全相同的和式极限。

抛开这些问题的具体实际意义， 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括， 我们可给出定积分概念。

四、定积分的定义

设函数在上有界， 在中任意插入个分点

把区间分划成 个小区间

各区间的长度依次为

在每个小区间上任取一点 ，

作函数值与小区间长度的乘积

作和式

记

若不论对区间上怎样的分法，

也不论对小区间上的点怎样的取法，

只要当时， 和总趋向于确定的值，

我们称这个极限值为函数在区间上的定积分。

记作

即

其中叫做被积函数；叫做被积表达式；

叫做积分变量； 叫做积分区间；

叫做积分下限； 叫做积分上限；

叫做在上的积分和式。

如果在上的定积分存在，我们就说在上可积。

对定积分的定义， 我们给出两点重要的注解：

1、定积分的几何意义

在上，时，表示由曲线，直线、与轴所围成的曲边梯形的面积。

在上，时，表示该曲边梯形面积的负值。

因此，定积分是一个数值。

2、定积分与积分变量无关

由定积分的几何意义可知：

定积分与被积函数及积分区间有关。

如果既不改变被积函数，也不改变积分区间 ，而只是将变量改写成其它字母，如或，这时定积分的值仍不变。即有

五、定积分的存在定理

【定理一】设在区间上连续， 则在上可积。

【定理二】设在区间上有界， 且只有有限个间断点， 则在上可积。

六、用定义求定积分的典型例子

【例1】 求

解：是连续的，故 存在。

为便于计算， 将区间上分划成等分 ， 即取分点为

这样，小区间的长度为 ，再取

积分和式为

将表达式写成一个紧凑的形式：

从而

此例告诉我们这样的信息：

1、用定积分定义来计算定积分的确不方便，有必要寻找简捷而有效的计算方法；

2、，也反映了定积分几何意义的正确性。