§5.1
定积分的概念
一、从阿基米德的穷竭法谈起
【引例】从曲线与直线
,
,
所围图形的面积
。
如图:在区间 上插入
个等分点
,得曲线上点
,过这些点分别向
轴,
轴引垂线,得到阶梯形。它们的面积分别为:
故可得到面积值为
为了便于理解阿基米德的思想,我们先引入曲边梯形的概念。
所谓曲边梯形是指这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条是平行的,第三条与前两条垂直叫做底边,第四条边是一条曲线弧叫做曲边,这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。
根据这一定义,引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。
二、曲边梯形的面积计算
设连续函数,求由曲边
,直线
,
及
轴所围成的曲边梯形的面积
。
如图,在区间上任意地插入
个分点
区间分划成
个小区间
,且记小区间的长度为
过每个分点作平行于轴的直线段,这些直线段将曲边梯形分划成
个窄小的曲边梯形,用
记第
个窄小的曲边梯形的面积。
(由于曲边梯形的高在上是连续变化的,在很短小的一段区间上它的变化也很小,即可近似地视为不变。因此,在每个小区间上,可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高,用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)
具体地
对第
个窄小曲边梯形,在其对应区间
上任意地取一点
,以
作为近似高,以矩形面积
近似
。
即
于是,
很明显地
小区间的长度
越小,
近似程度就越好;要使得
近似程度越好,只需
都越来越小。因此,为了得到面积
的精确值,我们只需将区间
无限地细分,使得每个小区间的长度都趋向于零。
若记 ,则每个小区间的长度趋向于零价于
。
从而 (1)
三、变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔
上的连续函数,且
,求物体在时间间隔内所经过的路程。
在时间间隔内任意地插入
个分点
将分划成个时间区间
各时间区间的长度依次为
记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为
在时间间隔, 物体所经过的路程
的近似值为
即:将物体在上的速度视为不变的,以
来近似代替。很自然地,当
这一时间间隔段很短时,这种近似是合理的。
于是可给出的近似值
为得到的精确值, 只需让每个小时间间隔段的长度
均趋向于零。
若记
则 (2)
上述两例, 尽管其实际意义不同, 但有两点是一致的。
1、曲边梯形的面积值由高
及
的变化区间
来决定;
变速直线运动的路程由速度
及
的变化区间
来决定。
2、计算与
的方法、步骤相同,且均归结到一种结构完全相同的和式极限。
抛开这些问题的具体实际意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括, 我们可给出定积分概念。
四、定积分的定义
设函数在
上有界, 在
中任意插入
个分点
把区间分划成
个小区间
各区间的长度依次为
在每个小区间上任取一点
,
作函数值与小区间长度
的乘积
作和式
记
若不论对区间上怎样的分法,
也不论对小区间上的点
怎样的取法,
只要当时, 和
总趋向于确定的值
,
我们称这个极限值为函数
在区间
上的定积分。
记作
即
其中叫做被积函数;
叫做被积表达式;
叫做积分变量;
叫做积分区间;
叫做积分下限;
叫做积分上限;
叫做
在
上的积分和式。
如果在
上的定积分存在,我们就说
在
上可积。
对定积分的定义,
我们给出两点重要的注解:
1、定积分的几何意义
在上,
时,
表示由曲线
,直线
、
与
轴所围成的曲边梯形的面积。
在上,
时,
表示该曲边梯形面积的负值。
因此,定积分是一个数值。
2、定积分与积分变量无关
由定积分的几何意义可知:
定积分与被积函数
及积分区间
有关。
如果既不改变被积函数,也不改变积分区间
,而只是将变量
改写成其它字母,如
或
,这时定积分的值仍不变。即有
五、定积分的存在定理
【定理一】设在区间
上连续, 则
在
上可积。
【定理二】设在区间
上有界, 且只有有限个间断点, 则
在
上可积。
六、用定义求定积分的典型例子
【例1】 求
解:是连续的,故
存在。
为便于计算,
将区间上分划成
等分 , 即取分点为
这样,小区间的长度为
,再取
积分和式为
将表达式写成一个紧凑的形式:
从而
此例告诉我们这样的信息:
1、用定积分定义来计算定积分的确不方便,有必要寻找简捷而有效的计算方法;
2、,也反映了定积分几何意义的正确性。